2018长沙初一数学上期末测试卷（下）

      25.(10分)已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON的内部取一点P(点A、P、B三点不在同一直线上)，连接PA、PB.

　　(1)探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论;

　　(2)设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数(用含有x、y的代数式表示).

　　【解答】解：(1)分两种情况：

　　①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，

　　证明：∵四边形AOBP的内角和为(4﹣2)×180°=360°，

　　∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO;

　　②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

　　证明：延长AP交ON于点D，

　　∵∠ADB是△AOD的外角，

　　∴∠ADB=∠PAO+∠AOD，

　　∵∠AP B是△PDB的外角，

　　∴∠APB=∠PDB+∠PBO，

　　∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO;

　　(2)设∠MON=2m°，∠APB=2n°，

　　∵OC平分∠MON，

　　∴∠AOC= ∠MON=m°，

　　∵PQ平分∠APB，

　　∴∠APQ= ∠APB=n°，

　　分两种情况：

　　第一种情况：如图3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°①

　　∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°，

　　∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②，

　　①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°，

　　∴∠OQP=180°+ x°﹣ y°;

　　第二种情况：如图4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO，

　　即∠OQP+n°=m°+x°，

　　∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①，

　　∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

　　∴2n°=2m°+x°+y°②，

　　①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°，

　　∴∠OQP= x°﹣ y°，

　　综上所述，∠OQP=180°+ x°﹣ y°或∠OQP= x°﹣ y°.

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