第二部分数与代数

　　一、因数和倍数

　　1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。

　　整数与自然数的关系：整数包括自然数和负数。

　　2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。

　　例：12是6的倍数，6是12的因数。

　　(1)数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

　　(2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

　　一个数的因数的求法：成对地按顺序找。

　　(3)一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

　　一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。一个数的最小倍数和最大因数是它本身。

　　(4)2、3、5的倍数特征

　　1) 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

　　2)一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

　　3)个位上是0或5的数，是5的倍数。

　　4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最小两位数是30，最大的两位数是90，最小的三位数是120。

　　同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

　　5)如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

　　3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。

　　如：6的因数有：1、2、3(6除外)，刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28。

　　4：自然数按能不能被2整除来分：分为奇数、偶数。

　　奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

　　偶数：能被2整除的数叫偶数(0也是偶数)，也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

　　最小的奇数是1，最小的偶数是0.

　　关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。

　　5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.

　　质数(或素数)：只有1和它本身两个因数。

　　合数：除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数：1、它本身、别的因数)。

　　1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

　　0：

　　最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

　　每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

　　20以内的质数：有8个(2、3、5、7、11、13、17、19)

　　100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

　　43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

　　100以内找质数、合数的技巧：

　　看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

　　关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数

　　6、最大、最小

　　A的最小因数是1;A的最大因数是A;A的最小倍数是A; 最小的奇数是1;最小的偶数是0;最小的质数是2;最小的自然数是0;最小的合数是4;

　　7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

　　用短除法分解质因数 (一个合数写成几个质数相乘的形式)。

　　比如：30分解质因数是：(30=2×3×5)

　　8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

　　两个质数的互质数：5和7;两个合数的互质数：8和9;一质一合的互质数：7和8;

　　两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质;⑵相邻两个自然数互质; ⑶两个质数一定互质;⑷2和所有奇数互质; ⑸质数与比它小的合数互质;

　　9、公因数、最大公因数

　　几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

　　用短除法求两个数或三个数的最大公因数 (除到互质为止，把所有的除数连乘起来)

　　几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。

　　如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。

　　如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

　　10、公倍数、最小公倍数

　　几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

　　用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来)

　　用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来)

　　如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

　　如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

　　几个数的公倍数是最小公倍数的倍数。

　　11、求最大公因数和最小公倍数方法

　　用12和16来举例

　　1、 求法一：(列举求同法)

　　最大公因数的求法：

　　12的因数有：1、12、2、6、3、4

　　16的因数有：1、16、2、8、4

　　最大公因数是4

　　最小公倍数的求法：

　　12的倍数有：12、24、36、48、…

　　16的倍数有：16、32、48、…

　　最小公倍数是48

　　2、求法二：(分解质因数法)

　　12=2×2×3

　　16=2×2×2×2

　　最大公因数是：2×2=4 (相同乘一次)

　　最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 (相同乘一次× 不同分别乘)

　　3、求法三：短除法

　　用短除法求下列各组数的最大公因数。①12和18 ②34和102 ③ 12、24和36

　　想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。