导读：二次函数，是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。二次函数是初中数学的重点和难点，对这类题型有疑惑的同学，一定要多加练习，多揣摩，在实际的练习中中不断提高运算能力和解题能力。

　　1、二次函数的概念

　　一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。

　　叫做二次函数的一般式。

　　2、二次函数的图像

　　二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

　　抛物线的主要特征：

　　①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

　　3、二次函数图像的画法

　　五点法：

　　(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

　　(2)求抛物线与坐标轴的交点：

　　当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

　　当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

　　4、二次函数的解析式 (10~16分)

　　二次函数的解析式有三种形式：

　　(1)一般式：

　　(2)顶点式：

　　(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

　　注意：抛物线位置由决定.

　　(1)决定抛物线的开口方向

　　①开口向上.

　　②开口向下.

　　(2)决定抛物线与y轴交点的位置.

　　①图象与y轴交点在x轴上方.

　　②图象过原点.

　　③图象与y轴交点在x轴下方.

　　(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)

　　①同号对称轴在y轴左侧.

　　②对称轴是y轴.

　　③异号对称轴在y轴右侧.

　　(4)顶点坐标.

　　(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、

　　①△>0抛物线与x轴有两个不同交点.

　　②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切).

　　③△<0抛物线与x轴无公共点.

　　(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断.

　　①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值.

　　②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值.

　　(7)的符号的判定：

　　表达式，请代值，对应y值定正负;

　　对称轴，用处多，三种式子相约;

　　轴两侧判，左同右异中为0;

　　1的两侧判，左同右异中为0;

　　-1两侧判，左异右同中为0.

　　(8)函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是诀窍;平移方式不知道，通过顶点来寻找。

　　(9)对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为(a相反，定点坐标不变)。

　　(10)结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0;

　　②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称;

　　③二次函数(经过原点，则。

　　5、二次函数的最值 (10分)

　　如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，。

　　如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，;若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

　　6、二次函数的性质

　　二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y

　　0 xy0 x性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸;

　　(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，);

　　(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增;

　　(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

　　(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸;

　　(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，);

　　(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减;

　　(4)抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

　　7、二次函数中，的含义：

　　表示开口方向：>0时，抛物线开口向上

　　<0时，抛物线开口向下

　　与对称轴有关：对称轴为x=

　　表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，)

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