2018年长沙初三数学试题：类比探究

　　【拓展应用】

　　如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________(用含a，h的代数式表示).

　　【灵活应用】

　　如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.

　　【实际应用】

　　如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且 ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积.

　　3. 折纸的思考.

　　【操作体验】

　　用一张矩形纸片折等边三角形.

　　第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平(如图2).

　　第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到

　　△PBC.

　　图1 图2 图3

　　(1)说明△PBC是等边三角形.

　　【数学思考】

　　(2)如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.

　　图4 图5

　　(3)已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.