2018年长沙初三数学试题：类比探究

　　导读：数学的学习注重的是实践,在初中数学的教学中要注重学生数学练习题的训练,如果只学习课本上的例题不注重平时课下的训练,这样学习的效果是不大的。学生无法应对在考试过程中数学题的千变万化的形态,如果不练习就无法正确地解答各类习题,学过的知识"雁过留声"不会有较深刻的印象。同学们一定要注重习题的训练，我们整理了考察类比探究相关试题，快来练习一下吧。

　　1. 我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.

　　特例感知：

　　(1)在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.

　　①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=_____BC;

　　②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为_________.

　　猜想论证：

　　(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.

　　拓展应用

　　(3)如图4，四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD= ，DA=6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在，请给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在，请说明理由.

　　2. 【探索发现】

　　如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.