附中高新初三上册期末考试数学试卷及答案解析
2016-2017学年湖南师大附中高新实验中学九年级(上)期末数学复习试卷
一、选择题
1.两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为( )
A.1：3 B.1：9 C.1： D.2：3
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB为( )
A.70° B.20° C.140° D.35°
3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D. 4.如图，已知A点是反比例函数y= (k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为2，则k的值为( )
A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2
5.已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d>5，则m=0;
②若d=5，则m=1;
③若1
④若d=1，则m=3;
⑤若d<1，则m=4.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.5
6.若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
7.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为( )
A.(2，5) B.(2.5，5) C.(3，5) D.(3，6)
8.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )
A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：16
9.下列计算正确的是( )
A. B.3﹣1=﹣3 C.(a4)2=a8 D.a6÷a2=a3
10.若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”.已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为( )
A.﹣64 B.0 C.18 D.64
二、填空题
11.在0，1，2这三个数中任选两个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，则P点落在直线y=x+1图象上的概率是 .
12.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米.
13.如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB=2：3，则S△ADE：S△梯形DBCE= .
14.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=
x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a
三、简答题
15.计算：(﹣1)2015+ +(π﹣3.14)0+2sin60°﹣2﹣1.
16.先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1.
17.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)若sinC= ，AC=6，求⊙O的直径.
18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)请你判定“抛物线三角形”的形状(不必写出证明过程);
(2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值;
(3)如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”.请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在，请说明理由.
2016-2017学年湖南师大附中高新实验中学九年级(上)期末数学复习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为( )
A.1：3 B.1：9 C.1： D.2：3
【考点】相似多边形的性质.
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方和相似多边形的周长之比等于相似比得出即可.
【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，
∴两个相似多边形的边长之比是1：3，
∴它们的周长之比为1：3.
故选A.
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB为( )
A.70° B.20° C.140° D.35°
【考点】圆周角定理.
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，继而求得∠B的度数，然后由OB=OC，即可求得答案.
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=70°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=20°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=20°.
故选B.
3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D. 【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质易证两三角形相似，根据相似三角形的性质可解.
【解答】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴△BFE∽△DFA
∴BE：AD=BF：FD=1：3
∴BE：EC=BE：(BC﹣BE)=BE：(AD﹣BE)=1：(3﹣1)
∴BE：EC=1：2
故选A.
4.如图，已知A点是反比例函数y= (k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为2，则k的值为( )
A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|.
【解答】解：根据题意可知： |k|=2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k>0，
则k=4.
故选：A.
5.已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d>5，则m=0;
②若d=5，则m=1;
③若1
④若d=1，则m=3;
⑤若d<1，则m=4.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.5
【考点】命题与定理.
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案.
【解答】解：①若d>5时，直线与圆相离，则m=0，故正确;
②若d=5时，直线与圆相离，则m=1，故正确;
③若1
④若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误;
⑤若d<1时，直线与圆相交，则m=4，故正确.
正确的有3个，
故选：C.
6.若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
【考点】圆锥的计算.
【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解.
【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，
设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则 =2πr，
解得：n=180°.
故选D.
7.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为( )
A.(2，5) B.(2.5，5) C.(3，5) D.(3，6)
【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标.
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C(1，2)，
∴点A的坐标为：(2.5，5)
故选：B.
8.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )
A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：16
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案.
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2.
故选A.
9.下列计算正确的是( )
A. B.3﹣1=﹣3 C.(a4)2=a8 D.a6÷a2=a3
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;负整数指数幂;二次根式的加减法.
【分析】A.不是同类二次根式，不能合并;B.依据负整数指数幂的运算法则计算即可;C.依据幂的乘方法则计算即可;D.依据同底数幂的除法法则计算即可.
【解答】解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A错误;
B. ，故B错误;
C.(a4)2=a4×2=a8，故C正确;
D.a6÷a2=a6﹣2=a4，故D错误.
故选：C.
10.若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”.已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为( )
A.﹣64 B.0 C.18 D.64
【考点】有理数的加法.
【分析】根据已知得出，an+1=an+an+2，an+2=an+1+an+3，an+3=an+2+an+4，进而得出an+an+2+an+4=0，an+1+an+3+an+5=0，即可得出答案
【解答】解：由题意得：
an+1=an+an+2，
an+2=an+1+an+3，
an+3=an+2+an+4，
三式相加，得：an+an+2+an+4=0，
同理可得：an+1+an+3+an+5=0，
以上两式相加，可知：
该数列连续六个数相加等于零，2016是6的倍数，所以结果为零.
故选：B.
二、填空题
11.在0，1，2这三个数中任选两个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，则P点落在直线y=x+1图象上的概率是 .
【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据一次函数图象上点的坐标特征可判断点(0，1)、(1，2)在直线y=x+1上，于是可根据概率公式计算出P点落在直线y=x+1图象上的概率.
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中(0，1)、(1，2)落在直线y=x+1上，
所以P点落在直线y=x+1上的概率= = .
故答案为 .
12.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案.
【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i= = ，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB= =26(米).
故答案为：26.
13.如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB=2：3，则S△ADE：S△梯形DBCE= 4：21 .
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】证明△ADE∽△ABC，进而证明 ，即可解决问题.
【解答】解：∵DE∥BC，且AD：DB=2：3，
∴△ADE∽△ABC， ，
∴ ，
故答案为4：21.
14.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=
x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;三角形三边关系.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可.
【解答】方法一：
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a
∴a最小是2，
∵y1
∴﹣ <2.5，
解得m>﹣2.5.
方法二：
解：当a
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a
∴a+b
∴m>﹣ (a+b)，
∵a，b，c为正整数，
∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，
∴m>﹣ (a+b)≥﹣ (2+3)=﹣ ，
∴m>﹣ ，
故答案为：m>﹣ .
三、简答题
15.计算：(﹣1)2015+ +(π﹣3.14)0+2sin60°﹣2﹣1.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】分别利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、算术平方根化简各数进而求出即可.
【解答】解：(﹣1)2015+ +(π﹣3.14)0+2sin60°﹣2﹣1
=﹣1+ +1+2× ﹣ = .
16.先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先进行通分得到原式= + ，再进行同分母的加法运算，然后把分子分解因式后约分得到原式= ，再把a的值代入计算即可.
【解答】解：原式= + = = = ，
当a= ﹣1时，原式= =1﹣ .
17.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)若sinC= ，AC=6，求⊙O的直径.
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF= AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC= = ，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可.
【解答】(1)证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线;
(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF= AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC= = ，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF= =3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴ = ，即 = ，解得AE= ，
即⊙O的直径为 .
18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)请你判定“抛物线三角形”的形状(不必写出证明过程);
(2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值;
(3)如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”.请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形.
(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值.
(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式.
【解答】解：(1)如图;
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形.
(2)当抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点( ， )，满足 = (b>0).
则b=2.
(3)存在.
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形.
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形.
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB= OE.
∴ = • (b>0).
∴b′=2 .
∴A( ，3)，B(2 ，0).
∴C(﹣ ，﹣3)，D(﹣2 ，0).
设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则 ，
解得 .
故所求抛物线的表达式为y=x2+2 x.
2017年2月5日
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