2018年长沙初三下册数学知识点：锐角三角形函数

　　导读：初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。如图:我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。在此，长沙新东方网为大家整理了锐角三角形相关习题，快来学习巩固一下吧。

　　一、选择题

　　1.(改编题)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为 (　　)

　　A.12 B.55

　　C.1010 D.255

　　解析　设格点的边长是单位“1”，构造直角三角形如右图：由勾股定理可得AO=22，OC=2，AC=10.∵AC2=AO2+OC2，∴△AOC是直角三角形.∴sin A=COAC=210=55.故选B.

　　答案　B

　　2.(原创题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin ∠AOB的值等于 (　　)

　　A.55 B.52 C.32 D.12

　　解析　根据题意可画图，如图，根据勾股定理得，OA=5，则sin ∠AOB=ACAO=15=55.故选A.

　　答案　A

　　3.(原创题)如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为(　　)

　　A.503米 B.1003米

　　C.1003+1米 D.1003-1米

　　解析　由题意知∠ADB=45°，∠ACB=30°，设AB=x米，则BD=AB=x米，BC=(100+x)米.在Rt△ACB中，∠ACB=30°，∴tan 30°=ABBC=x100+x，即x100+x=33.解得x=1003-1.故选D.

　　答案　D

　　4.(改编题)学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE=127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过(栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计)(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.车辆尺寸：长×宽×高) (　　)

　　A.宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)

　　B.奇瑞QQ(4 000 mm×1 600 mm×1 520 mm)

　　C.大众朗逸(4 600 mm×1 700 mm×1 400 mm)

　　D.奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)

　　解析　如图，过点A作BC的平行线AG，过点N作NQ⊥BC于Q，交AG于点R，则∠BAG=90°.∵∠BAE=127°，∠BAG=90°，∴∠EAG=∠EAB-∠BAG=37°.在△NAR中，∠ARN=90°，∠EAG=37°，当车宽为1.8 m时，则GR=1.8 m，故AR=2-1.8=0.2(m)，∴NR=ARtan 37°=0.2×0.75=0.15(m)，∴NQ=1.2+0.15=1.35<1.36，∴宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)无法通过，奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)无法通过，故此选项A，D不合题意;当车宽为1.6 m时，则GR=1.6 m，故AR=2-1.6=0.4(m)，∴NR=ARtan 37°=0.4×0.75=0.3(m)，∴NQ=1.2+0.3=1.5<1.52，∴奇瑞QQ(4 000 mm×1 600 mm×1 520 mm)无法通过，故此选项不合题意;当车宽为1.7 m时，则GR=1.7 m，故AR=2-1.7=0.3(m)，∴NR=ARtan 37°=0.3×0.75=0.225(m)，∴NQ=1.2+0.225 =1.425 >1.4，∴大众朗逸(4 600 mm×1 700 mm×1 400 mm)可以通过，故此选项符合题意.故选C.

　　答案　C

　　二、填空题

　　5.(改编题)如图，已知tan O=43，点P在边OA上，OP=5，点M，N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________.

　　解析　过P作PD⊥OB，交OB于点D，∵tan O=PDOD=43，∴设PD=4x，则OD=3x.

　　∵OP=5，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=52，

　　∴x=1，∴PD=4.

　　∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2

　　∴MD=ND=12MN=1.

　　在Rt△PMD中，由勾股定理得：

　　PM=MD2+PD2=17，

　　答案　17

　　6.(改编题)如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9 m的D处，若测角仪CD的高度为1.5 m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为________ m.(精确到0.1 m)(参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)

　　解析　作CE⊥AB于E，在Rt△ACE中，tan 36°=AECE，AE=CE•tan 36°≈9×0.73=6.57，AB=AE+BE≈6.57+1.5=8.07≈8.1.故答案填：8.1.

　　答案　8.1

　　三、解答题

　　7.(原创题)如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险?请通过计算说明理由.(参考数据3≈1.732)

　　解　作AD⊥BC交BC的延长线于D.

　　设AD=x.

　　在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

　　∴CD=x•tan 30°=33x.

　　在Rt△ABD中，∠ABD=30°，

　　∴BD=3x.

　　∵BC=8，∴3x-33x=8.

　　解得x=43≈6.928.

　　∵6.928海里<7海里.

　　∴有触礁危险.

　　答：有触礁危险.

       延伸阅读：

　　2018年长沙初三下册数学知识点：反比例函数

　　2018年长沙初三下册数学知识点：图形的相似

　　2018年长沙初三下册数学知识点：投影与视图

　　2018年长沙初三上册数学知识点：旋转(汇总)

　　2018年长沙初三上册数学知识点：圆(汇总)

　　2018年长沙初三上册数学知识点：概率初步(汇总)