2019年湖南数学不等式训练题及解析(二)

2019-01-18 来源：网络整理作者：长晓球

　　导读：不等式题型是数学常考题型。在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式，一是消元法，二是将条件灵活变形，三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解。以下是2019年湖南高考数学不等式训练题及解析(二)，供学生练习。

　　1、已知x>0，y>0，且2x+5y=20.

　　(1)求u=lg x+lg y的最大值;

　　(2)求+的最小值.

　　解　(1)∵x>0，y>0，

　　∴由基本不等式，得2x+5y≥2.

　　∵2x+5y=20，

　　∴2≤20，xy≤10，

　　当且仅当2x=5y时，等号成立.

　　因此有解得

　　此时xy有最大值10.

　　∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.

　　∴当x=5，y=2时，u=lg x+lg y有最大值1.

　　(2)∵x>0，y>0，

　　当且仅当=时，等号成立.

　　由解得

　　∴+的最小值为.

　　2、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.

　　(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式;

　　(2)求该城市旅游日收益的最小值.

　　解　(1)W(t)=f(t)g(t)=(4+)(120-|t-20|)

　　(2)当t∈[1,20]时，401+4t+≥401+2=441(t=5时取最小值).

　　当t∈(20,30]时，因为W(t)=559+-4t递减，

　　所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=443，

　　所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.

　　3、如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

　　湖南高考数学不等式训练题及解析(二)

　　(1)求炮的最大射程;

　　(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由.

　　解　(1)令y=0，得kx-(1+k2)x2=0.

　　由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

　　故x==≤=10，

　　当且仅当k=1时取等号.

　　所以炮的最大射程为10 km.

　　(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔0

　　所以当a不超过6 km时，可击中目标.

　　延伸阅读：

　　2019年湖南数学函数训练题及解析