2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

　　例2 在下列命题中，判断p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)

　　(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根.

　　(2) p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q：c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　(3) 设集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p：x∈M∩N;q:x∈M∪N.

　　解析 (1) 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件.

　　(2) 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p则q”为真命题;反过来，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件.

　　(3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若x∈(2，3)，此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题;反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸(2，3)，因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件.

　　突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件;若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件;若两者都是真命题，则p是q的充要条件;若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合. p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}.那么:若A?哿B，则p是q的充分条件;若B?哿A，则p是q的必要条件;若A=B，则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.